Dies ist das unverzichtbare Argument in der Philosophie der Mathematik. Hier sind einige Merkmale vieler unverzichtbarer Argumente in der Philosophie der Mathematik, egal wie allgemein: Michael Resnik, wie Putnam, präsentiert sowohl ein ganzheitliches Unentbehrlichkeitsargument, wie das von Quine, als auch ein nicht ganzheitliches Argument, das als pragmatisches Argument der Unverzichtbarkeit bezeichnet wird. In dem pragmatischen Argument verbindet Resnik zunächst mathematische und wissenschaftliche Rechtfertigung. Man könnte intertheoretische Unentbehrlichkeitsargumente in anderen Bereichen anwenden. Zum Beispiel könnte man argumentieren, dass wir an Gravitationsfelder (Physik) glauben sollten, weil sie von unseren Erklärungen, warum Zebras nicht ins All fliegen (Biologie), nicht uneliminierbar sind. Wir könnten denken, dass biologische Gesetze in gewissem Sinne auf physikalische Gesetze reduzieren, oder wir könnten denken, dass sie unabhängig von der Physik sind, oder übervenient in der Physik. Dennoch scheinen unsere Überzeugungen an einige grundlegende Behauptungen der Physik für andere Wissenschaften unverzichtbar zu sein. Die Beziehung zwischen dem Aufbau einer besten Theorie und der Erstellung wissenschaftlicher Erklärungen ist in letzter Zeit zu einem herausragenden Thema in der Diskussion des Unverzichtbarkeitsarguments geworden. Im fünften Teil des Artikels wird eine neuere Version des Unentbehrlichkeitsarguments, des erklärenden Arguments der Unverzichtbarkeit, erörtert. Die letzten vier Abschnitte des Artikels sind einer allgemeinen Charakterisierung von Unverzichtbarkeitsargumenten über verschiedene Versionen, einer kurzen Erörterung der prominentesten Antworten auf das Unentbehrlichkeitsargument, einer Unterscheidung zwischen inter- und intratheoretischen Unentbehrlichkeitsargumenten und einer kurzen Schlussfolgerung gewidmet. Obwohl das Argument der Unverzichtbarkeit eine Entwicklung des späten 20. Jahrhunderts ist, mögen frühere Philosophen Versionen des Arguments gehalten haben. Mark Colyvan stuft Argumente sowohl von Frege als auch von Gödel als unverzichtbare Argumente ein, da sie sich für Theoriebau und Mathematik verpflichtet haben.
(Siehe Colyvan 2001: 8-9.) Sowohl Frege als auch Gödel leugnen jedoch Naturalismus und Unterordnung der Praxis, so dass sie gemäß der Charakterisierung in diesem Abschnitt keine Indispensabilisten sind. Putnams Argument der Nicht-Quinean-Unentbehrlichkeit, das Erfolgsargument, ist eine Verteidigung des Realismus gegenüber dem Fiktionalismus und anderen antirealistischen Positionen. Das Erfolgsargument betont den Erfolg der Wissenschaft und nicht die Konstruktion und Interpretation einer besten Theorie. Eine weitere Kritik an dem Argument der Unverzichtbarkeit ist, dass das Argument nicht ausreicht, um eine befriedigende mathematische Ontologie zu erzeugen. Zum Beispiel erfordert keine wissenschaftliche Theorie mehr als 1 Sätze; wir brauchen nichts, was fast so mächtig ist wie die gesamte ZFC-Hierarchie. Aber die Standard-Set-Theorie beinhaltet die Existenz von viel größeren Kardinalitäten. Quine nennt solche unangewandte Mathematik “mathematische Erholung” (Quine 1986b: 400). Petersen, S.
(2018). Zusammensetzung als Muster. Philosophical Studies, 176, 1119. doi.org/10.1007/s11098-018-1050-6. Die Gegner des Unentbehrlichkeitsarguments haben ausgeklügelte Strategien entwickelt, um scheinbar unermessliche Anwendungen der Mathematik, insbesondere in der Physik, neu zu interpretieren. Einige Neuinterpretationen verwenden aletthische Modalitäten (Notwendigkeit und Möglichkeit), um mathematische Objekte zu ersetzen. Andere ersetzen Zahlen durch Raum-Zeit-Punkte oder Regionen. Es ist ganz einfach, aber technisch, Theorien erster Ordnung neu zu schreiben, um eine Quantifizierung über mathematische Objekte zu vermeiden. Es ist weniger einfach, dies zu tun, während Quines kanonische Sprache der Logik erster Ordnung beibehalten wird. Dieser Artikel beginnt mit einem allgemeinen Überblick über das Problem der Rechtfertigung unserer mathematischen Überzeugungen, die das Unentbehrlichkeitsargument motiviert. Die prominentesten Befürworter des Unentbehrlichkeitsarguments waren W.V. Quine und Hilary Putnam.
Im zweiten Abschnitt des Artikels wird eine Rekonstruktion von Quines Argumentation ausführlich behandelt. Quines Argumentation hängt von seinem allgemeinen Verfahren zur Bestimmung einer besten Theorie und ihrer ontischen Verpflichtungen ab, und von seinem Bestätigungsholismus. Der dritte und vierte Abschnitt des Artikels diskutieren Versionen des Unverzichtbarkeitsarguments, die nicht von Quines Methode abhängen: eine von Putnam und eine von Michael Resnik.
